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竞赛2021年全国高中数学联赛( )
一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.随机抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为a1,a2,a3，则事件|a1-a2 |+|a2-a3 |+|a3-a1 |=6发生的概率为__________.
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解答过程见word版
高考2023年北京市( )
为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同.
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率.
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大(结论不要求证明).
(1)根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，
根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：16/40=0.4；
(2)在这 40 天里，有 16 天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4,0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是：
C4²×0.4²×C21×0.35×0.25=0.168；
(3)由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.
高考2023年新高考Ⅱ( )
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c)，当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值。
(1)由题意知，左边图形第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%，所以95<c<100,
所以，(c-95)×0.002=0.5%，解得c=97.5，
q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002=0.035=3.5%.
(2)当c∈[95,100]时，f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02;
当c∈(100,105]时，f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02,
故f(c)=
所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02.
高考2023年新高考Ⅱ( )
在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1-α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送 1次，三次传输是指每个信号重复发送3次，收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).
A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的率为(1-α) (1-β)².
B、采用三次传输方案，若发送 1，则依次收到1，0，1的概率为β(1-β)².
C、采用三次传输方案，若发送 1，则译码为1的概率为β(1-β)²+(1-β)³.
D、当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的率大于采用单次传输方案译码为0的概率.
A项，“依次发送1,0,1，且收到1,0,1的事件”是“发送1接收1，发送0接收0，发送1接收1”3个事件的积.因为3件事相互独立，故所求概率为(1-α) (1-β)²，选项正确；
B项，三次传输，“发送1相当于依次发送1,1,1，则依次收到1,0,1的事件”，是“发送1接收1，发送1接收0，发送1接收1”3个事件的积.因为它们相互独立，故所求概率为β(1-β)²，选项正确；
C项，三次传输，“发送1，则译码为1 的事件”是依次收到“1,1,0、1,0,1、0,1,1、1,1,1”的事件之和.因为它们互斥，由选项B知，所求概率为：
C3² β(1-β)²+(1-β)³=(1-β)² (1+2β)，选项错；
D项，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的查验率为P=(1-α)² (1+2α)；单次传输，发送0，则译码为0的概率P'=1-α，
∴P-P'=α(1-α)(1-2α)>0(0<α<0.5),
即P>P'，选项正确.
高考2023年新高考Ⅰ( )
甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第i次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量X_i服从两点分布，且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,⋯,n，则E(
Xi )=qi ，记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E(Y).
(1)第二次是乙的概率为0.5×0.4+0.5×0.8=0.6；
(2)设第i-1次、第i次是甲投球的概率分别为pi-1,pi，
则pi=0.6pi-1+0.2(1-pi-1 )=0.4pi-1+0.2，
引入变量t，构造等比数列pi+t=0.4(pi-1+t)，解得t=-1/3,
∴pi+1-1/3=2/5∙(pi-1-1/3)
又p1=1/2,
∴pi-1/3=(1/2-1/3)∙(2/5)i-1=1/6∙(2/5)i-1
∴pi=1/6∙(2/5)i-1+1/3.
(3)当n∈N*时，E(Y)=p1+p2+⋯+pn=1/6∙(1-(2/5)n)/(1-2/5)+n/3=5/18 [1-(2/5)n ]+n/3,
当n=0时，E(Y)=0，符合上式，故E(Y)=5/18 [1-(2/5)n ]+n/3.