(1)∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，同理PA⊥AB，

∴△PAB为直角三角形，

又∵PB=√2,BC=1,PC=√3，

∴PB²+BC²=PC²，

∴△PBC为直角三解形，BC⊥PB，

又∵BC⊥PA,PA∩PB=P，

∴BC⊥平面PAB.

(2)由(1)知，BC⊥AB，以A为原点，AB为x轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图：

则A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)，

∴(AP)^⇀=(0,0,1),(AC)^⇀=(1,1,0),(BC)^⇀=(0,1,0),(PC)^⇀=(1,1,-1)，

设平面PAC的法向量为m^⇀=(x₁,y₁,z₁)，

则，即，

令x₁=1，则y₁=-1，所以m^⇀=(1,-1,0)，

设平面PBC的法向量为n^⇀=(x₂,y₂,z₂)，

则，即，

令x₂=1，则z₂=1，所以n^⇀=(1,0,1)，

∴cos〈m^⇀∙n^⇀ 〉=(m^⇀∙n^⇀)/(|m^⇀ ||n^⇀|)=1/(√2×√2)=1/2，

又∵二面角A-PC-B为锐角，

∴二面角A-PC-B的大小为π/3.

如图，过E做EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别做EG⊥BC,EM⊥AB，垂足分别为G,M，连接OG,OM.

由题意得，等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面的夹角分别为∠EMO,∠EGO，

则tan∠EMO=tan∠EGO=√14/5.

∵EO⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD，

∴EO⊥BC.

∵EG⊥BC,EO,EG⊂平面EOG,EO∩EG=E，

∴BC⊥平面EOG，

∵OG⊂平面EOG，

∴BC⊥OG.

同理，OM⊥BM,

又BM⊥BG，

∴四边形OMBG是矩形，

所以由BC=10得OM=5，

∴EO=√14,OG=5，

在直角三角形EOG中，EG===√39,

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB===8,

又因为EF=AB-5-5=15，

所以，该五面体所有棱长之和为2×25+2×10+15+4×8=117m.

(1)连接AE,DE，因为E为BC的中点，且DB=DC，∴DE⊥BC①，

∵DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,

∴△ACD与△ABD均为等边三角形，

∴AC=AB,从而AE⊥BC②，

由①②，AE∩DE=E,AE,DE⊂平面ADE，

∴BC⊥平面ADE,

∵AD⊂平面ADE,

∴BC⊥AD.

(2)不妨设DA=DB=DC=2,

∵BD⊥CD,

∴BC=2√2,DE=AE=√2.

∴AE²+DE²=AD²=4,

∴AE⊥DE,

又∵AE⊥BC,DE∩BC=E,DE,BC⊂平面BCD,

∴AE⊥平面BCD.

以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,√2),B(0,√2,0),D(√2,0,0),E(0,0,0)，

设平面ABD与平面ABF的一个法向量分别为(n₁ ) ^→=(x₁,y₁,z₁ ),(n₂ ) ^→=(x₂,y₂,z₂)，

二面角D-AB-F的平面角为θ，

∵(EF) ^→=(DA) ^→=(-√2,0,√2),

∴F(-√2,0,√2),

即有(AF) ^→=(-√2,0,0).

∴，取x₁=1，则(n₁ ) ^→=(1,1,1);

，取y₂=1，则(n₂ ) ^→=(0,1,1),

∴cosθ=(|(n₁ ) ^→∙(n₂ ) ^→|)/(|(n₁ ) ^→ ||(n₂ ) ^→|)=2/(√3×√2)=√6/3，

∴sinθ=√(1-6/9)=√3/3，即二面角D-AF-F的正弦值为√3/3.

(1)方法一：在正四棱柱ABCD-A₁ B₁ C₁ D₁中，面BCC₁ B₁//面ADD₁ A₁，

∴B₂ C₂//面ADD₁ A₁,

又∵B₂ C₂⊂面A₂ B₂ C₂ D₂，面A₂ B₂ C₂ D₂∩面ADD₁ A₁=A₂ D₂，

∴B₂ C₂//A₂ D₂.

方法二：如图，以C为原点建立空间坐标系，CD为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，

则：A₂ (2,2,1),B₂ (0,2,2),C₂ (0,0,3),D₂ (2,0,2)，

∴(B₂ C₂ )^➝=(0,-2,1),(A₂ D₂ )^➝=(0,-2,1)

∴(B₂ C₂ )^➝=(A₂ D₂ )^➝

∴B₂ C₂//A₂ D₂.

(2)设面A₂ C₂ D₂的法向量(n₁ )^➝=(x₁,y₁,z₁)

∵(D₂ C₂ )^➝=(-2,0,1),(D₂ A₂ )^➝=(0,2,-1)，

∴，

解得(n₁ )^➝=(1,1,2).

设P(0,2,m)，

设面A₂ C₂ P的法向量(n₂ )^➝=(x₂,y₂,z₂)

∵(C₂ P)^➝=(0,2,m-3),(A₂ P)^➝=(-2,0,m-1)，

∴，

解得(n₂ )^➝=(m-1,3-m,2).

根据已知条件，二面角P-A₂ C₂-D₂为150°，

∴|cos<(n₁ )^➝,(n₂ )^➝>|=|(n₁ )^➝⋅(n₂ )^➝ |/(|(n₁ )^➝ |⋅|(n₂ )^➝ | )=|cos150°|=√3/2，

∴(|m-1+3-m+4|)/(√6∙√((m-1)²+(3-m)²+4))=√3/2,

化简得：m²-4m+3=0,

解得：m=1或m=3.

∴|B₂ P|=1.